MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES


Thierry Gallouët  et  Raphaèle Herbin
la mascotte de ce libvre est totoro, en raison de sa taille...


  Mesure, Intégration, Probabilités   Ellipses Marketing,  2013, 600 pages.

L’objectif de ce livre est de donner une vue d’ensemble de la théorie de la mesure, de l’intégration et des probabilités correspondant à un niveau de troisième année de licence ou de première année de master (en mathématiques).
La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d’analyse réelle, d’algèbre linéaire et de calcul différentiel enseignées en première et deuxième année de licence de mathématiques dans la plupart des universités françaises.
Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des probabilités en parallèle à celui de l’analyse. Nous espérons ainsi faciliter l’accès conjoint à des études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques, ce qui semble devenir indispensable aux mathématiciens se formant en vue d’appliquer ces théories.
Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont proposés dans ce livre, certains sont des applications directes du cours, d’autres contiennent des développements importants. Plus de 250 d’entre eux sont assortis d’un corrigé détaillé.
Ce livre, issu d’un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de 20 ans, a bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos étudiants et de discussions avec nos collègues (en particulier probabilistes). Nous tenons à les en remercier chaleureusement.


Une liste d’errata sera régulièrement mise à jour sur le site. Merci de nous signaler d'éventuelles fautes de frappe.



Table des matières

1    Motivation et objectifs
    1.1     Intégrale des fonctions continues   
    1.2     Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues 
    1.3     Les probabilités
    1.4    Objectifs
    1.5     Structure du cours
    1.6     Exercices

2    Tribus et mesures

    2.1     Introduction
    2.2     Tribu ou σ−algèbre
    2.3     Mesure, probabilités
    2.4     Mesure signée
    2.5     La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens
    2.6     Indépendance et probabilité conditionnelle 
    2.7     Exercices 

3    Fonctions mesurables, variables aléatoires
    3.1     Introduction, topologie sur R+ 
    3.2     Fonctions étagées.
    3.3     Fonctions mesurables et variables aléatoires 
    3.4     Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes
    3.5     Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité
    3.6     Exercices

4    Fonctions intégrables
    4.1     Intégrale d’une fonction étagée positive
    4.2     Intégrale d’une fonction mesurable positive
    4.3     Convergence monotone et lemme de Fatou.
    4.4     Mesures et probabilités de densité
    4.5     L’espace
L1des fonctions intégrables
    4.6     L’espace
L1
    4.7     Théorèmes de convergence dans L1
    4.8     Continuité et dérivabilité sous l'intégrale
    4.9     Espérance et moments des variables aléatoires
    4.10    Espace L1C(E,T,m) et l'espace L1RN(E,T,m) 
    4.11    Exercices 

5    Intégrale sur les boréliens de R 
    5.1    Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues
    5.2    Mesures abstraites et mesures de Radon
    5.3    Changement de variable, densité et continuité 
    5.4    Intégrales impropres des fonctions de R dans R
    5.5     Exercices

6    Les espaces Lp   
    6.1     Définition et premières propriétés
    6.2     Analyse hilbertienne et espace L2
    6.3     Dualité dans les espaces Lp,1≤p≤∞
    6.4     Convergence faible, faible-∗, étroite, en loi.
    6.5     Exercices

7    Produits d’espaces mesurés   
    7.1     Motivation
    7.2     Mesure produit
    7.3     Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini
    7.4     Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de RN
    7.5     Convolution
    7.6     Formules de changement de variable
    7.7     Exercices 

8    Densité, séparabilité et compacité
    8.1     Théorèmes de densité pour les espaces Lp(Ω)
    8.2     SéparabilitédeLp(Ω)
    8.3     Compacité dans les espaces Lp(Ω)
    8.4     Compacité faible-∗
    8.5     Exercices

9    Vecteurs aléatoires    
    9.1     Définition, propriétés élémentaires
    9.2     Indépendance
    9.3     Vecteurs gaussiens
    9.4     Exercices 

10 Transformation de Fourier
    10.1     Introduction et notations
    10.2     Transformation de Fourier dans L1
    10.3     Transformée de Fourier d’une mesures signée
    10.4     Transformation de Fourier dans L2
    10.5     Résolutiond’une E.D.O ou d’une E.D.P
    10.6     Fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire
    10.7     Exercices

11 Espérance conditionnelle et martingales
    11.1     Espérance conditionnelle
    11.2     Martingales
    11.3     Exercices

Références

Index