Méthodes numériques pour les écoulements (in)compressibles.

Cours de M2 2012-2013

Déroulement du cours


Séance 1 -- 29 novembre 13h30-16h30

I - Introduction
  • Une multitude de modèles compressibles et incompressibles, visqueux et non visqueux, stationnaires et instationnaires.
  • Rapide historique des résultats mathématiques
  • Des méthodes numériques très différentes selon les modèles.
  • Maillages colocalisés, maillages décalés, avantages, inconvénients, dangers.
  • Analyse mathématique de schémas numériques : Notion de stabilité, consistance (old and new) et convergence.
II - Discrétisation du problème de Stokes par volumes finis sur grilles décalées
  • Les maillages, les espaces discrets.
  • Les operateurs discrets: la divergence discrète.
Exercices

Séance 2 -- 12 décembre 9h-12h

II - Discrétisation du problème de Stokes par volumes finis sur grilles décalées, suite
  • Discrétisation du gradient, dualité div-grad
  • Discrétisation du laplacien
  • Forme faible du schéma, produit scalaire dans H1discret
  • Estimations, existence et unicité de la solution du schéma.
Exercices

Voir les exercices sur les volumes finis dans le polycopié Master 1 , chapitre 2



Séance 3 -- 12 décembre 14h -17h

II -- Discrétisation du problème de Stokes par volumes finis sur grilles décalées, suite
  • Compacité
  • Passage à la limite
III -- Analyse Fonctionnelle discrète
  • Sobolev discret
Support de cours pour la partie Analyse Fonctionnelle discrète

Séance 4 -- 19 décembre 13h30 -17h00

III -- Analyse Fonctionnelle discrète suite
  • Compacité
IV MAC pour Navier Stokes incompressible
  • Discrétisation du terme de convection non linéaire
  • Estimation vitesse
  • Estimation pression


Séance 5 -- 10 janvier 9h - 12h

V -- Stokes compressible
  • Construction du schéma, exitence par point fixe.
  • Estimations uniformes sur la vitesse et sur la pression
  • Estimation BV faible


Séance 6 -- 17 janvier 13h30 - 16h30

V -- Stokes compressible, suite
  • Passage à la limite sur la conservation de la masse
  • Passage à la limite sur la loi d'état: le cas continu “en trichant”…
Exercice

Séance 7 -- 24 janvier 13h30 - 15h

V -- Stokes compressible, suite
  • Passage à la limite sur la loi d'état: le cas continu “sans tricher”…
  • Passage à la limite sur la loi d'état: le cas discret: construction du rotationnel discret

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Séance 8 -- 29 janvier 13h30 - 15h30

V -- Stokes compressible, fin
  • Passage à la limite sur la loi d'état: le cas discret.
  • Remarques sur Navier-Stokes


Séance 9 -- Jeudi 7 février 13h30-15h30

VI -- Navier-Stokes compressible stationnaire et instationnaire
  • Stationnaire: Estimation sur vitesse et pression en continu et en discret.
  • Instationnaire: Schema implicite, stabilité.

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L'examen : Mardi 5 mars 13h30-16h30

Références

Articles proches du cours

Ouvrages sur les méthodes numériques

  • Eymard, Robert, Gallouët, T., Herbin, R., Finite volume methods. Handbook of numerical analysis, Vol. VII, 713–1020, Handb. Numer. Anal., VII, North-Holland, Amsterdam , 2000. 65M60 (65N30) polycopié avec quelques corrections et addenda
  • Feistauer, M., Mathematical Methods in Fluid Mechanics. Harlow, Longman Scientific & Technical 1993
  • Ferziger, J. H.; Perić, M. Computational methods for fluid dynamics. Second revised edition. Springer-Verlag, Berlin, 1999. xiv+389 pp. ISBN: 3-540-65373-2 76Mxx (65-01)
  • Herbin, R., Cours d'analyse numérique, polycopié Master
  • Leveque, R. , Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems ISBN 0-521-00924-3, Cambridge Univ. Press, 2002
  • Patankar Numerical heat and mass transfer, 1980 Mac Graw Hill
  • Wesseling, P. Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer Series in Computational Mathematics, 29.

Ouvrages sur la théorie mathématique

  1. Compressible
    • E. Feireisl Dynamics of Viscous Compressible Fluids Oxford University Press, Oxford, 2003
    • P.-L. Lions Mathematical Topics in Fluid Mechanics: Volume 2: Compressible Models, Oxford University Press, 1998
    • A. Novtony, I. Straskraba Introduction to the Mathematical Theory of Compressible Flow, OUP Oxford, 17 juin 2004 - 528 pages
  2. Incompressible
    • F. Boyer, P. Fabrie, Eléments d'analyse pour l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides visqueux incompressibles, Mathématiques et Applications Vol. 52, 405 p., Springer (2006)
    • P.-L. Lions Mathematical Topics in Fluid Mechanics: Volume 2: Compressible Models, Oxford University Press, 1996
    • R. Temam Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis AMS Chelsea Pub., 2001
Dernière modification: 2013/02/07 23:15
   
 
 
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